Einführung: Kreis
Ein Kreis oder genauer eine Kreislinie ist gegeben durch alle Punkte, die zu dem Mittelpunkt $M$ des Kreises den gleichen Abstand haben. Dieser Abstand wird Radius $r$ genannt. Das Doppelte des Radius ist der Durchmesser $d$.
Es gilt also: $d=2r$ oder $r=\frac d2$.
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Ein Kreis besitzt einen Umfang sowie einen Flächeninhalt:
- Der Kreisumfang ist die Länge der Kreislinie.
- Die Kreisfläche ist der Flächeninhalt, der von der Kreislinie eingeschlossen wird.
Kreisumfang berechnen
Die Länge der Kreislinie wird als Umfang $U$ bezeichnet.
Die Kreisumfangformel lautet:
$U_{\text{Kreis}}=2\pi\cdot r$.
Dabei ist $\pi=3{,}141592 ...$ die sogenannte Kreiszahl.
Kreisumfang berechnen – Beispiele
Mit der Formel können wir beispielsweise den Umfang eines Kreises mit Radius $r = 10~\text{cm}$ berechnen:
$U_{\text{Kreis}} = 2 \cdot \pi \cdot 10~\text{cm} \approx 62{,}8~\text{cm}$
Wir wollen die Formel für den Kreisumfang noch bei einem weiteren Beispielen anwenden.
Umfangsberechnung mithilfe des Durchmessers
Gegeben ist ein Kreis mit dem Durchmesser $d=4{,}55~\text{m}$. Um den Umfang zu berechnen, gehen wir in folgenden Schritten vor:
- Wir notieren zunächst die bekannte Formel für den Umfang:
$U_{\text{Kreis}}=2\pi\cdot r$. - Wir nutzen den Zusammenhang $d = 2r$ zwischen Durchmesser und Radius:
$\qquad U_{\text{Kreis}}=2\pi\cdot r = \pi \cdot \underbrace{(2 \cdot r)}_{d} = \pi \cdot d$
- Wir setzten den gegebene Durchmesser ein und berechnen:
$U_{\text{Kreis}}=\pi\cdot 4{,}55~\text{m}\approx 14{,}29~\text{m}$.
Der Umfang eines Kreises kann auch mit dem Durchmesser berechnet werden:
$U_{\text{Kreis}}=\pi\cdot d$.
Flächeninhalt eines Kreises berechnen einfach erklärt
Der Flächeninhalt eines Kreises ist die Fläche, die von der Kreislinie eingeschlossen wird.
Um zu verstehen, woher diese Formel kommt, kannst du dir vorstellen, dass die Stücke einer Pizza so sánh aneinandergelegt werden, dass näherungsweise ein Rechteck entsteht. Wenn wir Länge und Breite dieses Rechtecks multiplizieren, erhalten wir den Flächeninhalt des Kreises.
Flächeninhalt eines Kreises berechnen – Beispiele
Wie wir auch schon beim Kreisumfang können wir bei gegebenem Radius die Kreisfläche direkt durch Einsetzen in die Formel berechnen.
Für die Kreisfläche erhalten wir so sánh bei einem Kreis mit Radius $r = 10~\text{cm}$:
$A_{\text{Kreis}}= \pi \cdot (10~\text{cm})^2 \approx 314{,}2~\text{cm}^2$
Hinweis: Achte bei der Flächenberechnung auf die korrekte Flächeneinheit, wie hier $\text{cm}^2$.
Im Folgenden betrachten wir zwei weitere Beispiele, bei denen der Flächeninhalt eines Kreises mithilfe des Durchmessers bzw. des Umfangs berechnet wird.
Kreisfläche mit dem Durchmesser berechnen
Wir betrachten erneut einen Kreis mit dem Durchmesser $d=4{,}55~\text{m}$. Um den Flächeninhalt zu berechnen, gehen wir in folgenden Schritten vor:
- Wir notieren zunächst die bekannte Formel für die Kreisfläche:
$A_{\text{Kreis}}= \pi \cdot r^2$. - Wir nutzen den Zusammenhang $r = \frac{d}{2}$ zwischen Durchmesser und Radius:
$A_{\text{Kreis}}= \pi \cdot r^2 = \pi \cdot \left(\dfrac{d}{2}\right)^2 = \pi \cdot \dfrac{d^2}{4}$ - Wir setzten den gegebene Durchmesser ein und berechnen:
$A_{\text{Kreis}}=\pi \cdot \dfrac{(4{,}55~\text{m})^2}{4} \approx 16{,}26~\text{m}^2$.
Der Flächeninhalt eines Kreises kann auch mit dem Durchmesser berechnet werden:
$A_{\text{Kreis}}= \pi \cdot \dfrac{d^2}{4}$
Kreisfläche mit dem Umfang berechnen
In dem nächsten Beispiel ist der Umfang eines Kreises $U_{\text{Kreis}}=30~\text{m}$, also die Länge der Kreislinie, gegeben. Wir betrachten dazu zunächst die uns bekannten Formeln:
| Kreis | Umfang | Flächeninhalt |
|---|---|---|
| Formel | $U = 2 \pi r$ | $A = \pi r^2$ |
Der Radius kann durch Umformung der Umfangsformel ermittelt werden: $U_{\text{Kreis}} = 2\pi\cdot r$. Dieses Mal wird der Umfang eingesetzt: $30~\text{m}=2\pi\cdot r$
Division durch $2\pi$ führt zu dem gesuchten Radius:
$r=\dfrac{30~\text{m}}{2\pi} = \dfrac{15}{\pi}~\text{m}$.
Mithilfe dieses Radius können wir nun die Kreisfläche berechnen:
$A_{\text{Kreis}} =\pi\cdot \left(\dfrac{15}{\pi}~\text{m}\right)^2 = \dfrac{15^2}{\pi}~\text{m}^2 \approx 71{,}6~\text{m}^2$
Kreis: Umfang und Flächeninhalt – Zusammenfassung
- Ein Kreis wird durch einen Kreislinie beschrieben, deren Punkte alle den gleichen Abstand zum Kreismittelpunkt $M$ haben.
- Der Abstand zwischen Mittelpunkt und Kreislinie wird als Radius $r$ bezeichnet. Der Durchmesser $d$ ist stets genau doppelt so sánh lương y wie der Radius.
- Die Länge der Kreislinie ist der Umfang $U$ des Kreises.
- Die Fläche, die durch die Kreislinie eingeschlossen wird, ist der Flächeninhalt $A$ des Kreises.
- Es gelten die Formeln:
$\qquad U_{\text{Kreis}}=2\pi\cdot r$ und
$\qquad A_{\text{Kreis}}= \pi \cdot r^2$
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